Dobro došli na moju stranicu

Šta je matematika? 

     Kad biste ovo pitanje postavili prvoj osobi na koju naiđete, odgovor bi najverovatnije glasio: ,,Matematika proučava brojeve." Ako biste insistirali da vaš sagovornik bude određeniji, možda biste izmamili objašnjenje da je matematika „nauka o brojevima".

Dalje od ovoga ne biste stigli, iako to nije odgovarajući opis matematike. Prevaziđen je već 2500 godina! Odgovor na pitanje „Šta je matematika?" menjao se nekoliko puta od tada.

   Oko petstote godine pre nove ere, matematika se zaista bavila brojevima. Drevna egipatska, vavilonska i kineska matematika sastojala se gotovo isključivo od aritmetike. Bila je veoma praktična i veoma je podsećala na kuvar. («Uradite to i to broju i dobićete rešenje.") Između petstote godine pre nove ere i tristote godine nove ere, matematika je prevazišla proučavanje brojeva. Starogrčke matematičare više je zanimala geometrija. Oni su, u stvari, proučavali brojeve na geometrijski način, kao mere za dužinu, i kada su otkrili da postoje dužine kojima ne odgovaraju njihovi brojevi (takozvane iracionalne dužine), njihovo proučavanje brojeva bilo je obustavljeno. Pošto su se Grci posebno interesovali za geometriju, matematika je za njih bila nauka o brojevima i obliku.

        Grci su matematiku od skupa metoda za merenje, brojanje i računanje, pretvorili u akademsku disciplinu sa estetskim i religioznim elementima. Na početku starogrčkog razdoblja, Tales je uveo ideju da se precizno formulisana matematička tvrđenja mogu logički dokazati pomoću formalnih rasuđivanja. Kod Grka je ovaj pristup dostigao vrhunac oko 350. godine pre nove ere, kad su objavljeni Euklidovi „Elementi" u trinaest tomova, koji su, posle Biblije, najčitanija knjiga svih vremena.

       Iako se posle Grka matematika razvijala u više krajeva sveta - posebno u Arabiji i Kini - njena priroda nije se menjala sve do sredine sedamnaestog veka, kada su Isak Njutn (Isaac Newton) u Engleskoj i Gotfrid Vilhelm Lajbnic (Gottfried Wilhelm Leibniz) u Nemačkoj, nezavisno jedan od drugog, izumeli diferencijalni i integralni račun. U osnovi, diferencijalni i integralni račun proučava pokret i promenu.

MaTeMaTiKa To Je JeDnA nAuKa, To Je  PrAvA nAuKa.

Matematika nije bauk...

Kako pomoći djetetu s teškoćama u učenju matematike

DISKALKULIJA

Specifične teškoće u učenju matematike: što i kako?

Šta je diskalkulija?

Diskalkulija je skup specifičnih teškoća u učenju matematike i obavljanja matematičkih zadataka. To su takva odstupanja koja stvaraju djetetu ozbiljne poteškoće u ovladavanju matematikom, bez obzira na stepen intelektualnog razvoja, normalnog funkcionisanj a osjetila, te na optimalne uslove redovnog podučavanja. Kod djece se najčešće radi o razvojnoj diskalkuliji, odnosno o teškoćama koje se formiraju u ranoj razvojnoj dobi i ispoljavaju se odmah čim je dijete počelo upoznavati pojam broja i obavljati elemen tarne računske radnje. Kod djece s diskalkulijom postoji velika disproporcija između njihove mentalne dobi i tzv. matematičke dobi. Matematička dob takvog djeteta je znatno ispod prosjeka, dok je mentalna dob normalna.

Kako je možemo prepoznati?

Diskalkulično dijete se razlikuje po tome što čini vrlo mnogo neuobičajenih grešaka:

• zamjenjuje jedan broj nekim drugim,

• ponavlja isti broj ili radnju više puta kao da se „zaglavilo“,

• zrcalno okreće znamenke, narušava redoslijed u višeznamenkastim brojevima ,

• vrlo usporeno čak i u elementarnom računa nju, loše pamti brojeve u nizu i aritmetičke činjenice,

• zapisuje brojeve u uzajamno neprikladnom položaju, narušava smjer rješavanja,

• vizuelno pogrešno prepoznaje računske simbole i znamenke,

• ne može zapamtiti i slijediti algoritam rješavanja.

Koliko je diskalkulija proširena?

Prema statističkim podacima, oko 6% osoba ima razvojnu diskalkuliju.

Zbog čega se diskalkulija javlja?

Treba samo razlikovati uzroke prave diskalkulije i uzroke drugih teškoća u učenju matematike kod djece. Diskalkulija je neurološki uzrokovana. Određeni sistemi i dijelovi mozga koji su anatomski i psihološki neposredno odgovorni za matematičke sposobnosti, sazrijevaju usporeno ili promjenjeno. Međutim, postoji i mnogo drugih razloga za što neka djeca imaju ozbiljnih poteškoća u učenju matematike. Nedovoljni stepen kognitivnog funkcionisanja, nerazvijenost temeljnih predmatematičkih vještina, posebne jezične teškoće u čitanju i pisanju, nekompatibilnost stilova podučavanja i učenja, emocionalno stanje djeteta su neki od razloga.

Postoji li populacija djece koja bi bila sklonija teškoćama u učenju matematike?

Odgovori na ova pitanja su složeni, što znači da objašnjenja nisu jednostavna. Naravno, da se moraju uvažiti mišljenja neurologa koji predviđaju njihovu pojavu kod djece s umjerenim ili lakšim odstupanjem u radu mozga ili zakašnjelog formiranja viših funkcija korteksa. Ali postoje pokazatelji da i oko 25% ljudi s normalnim ili čak nadprosječnim opštim stepenom kognitivne inteligencije ima nedovoljno razvijeno matematičko mišljenje. Postoje skupine djece u kojima češće možemo očekivati teškoće u nekim područjima učenja matematike. To su prije svega djeca sa specifičnim teškoćama u čitanju – disleksijom. Oko 75% učenika sa umjerenom i teškom disleksijom imaju ozbiljne poteškoće u matematici. Ako se disleksija shvati kao teškoća u ovladavanju dekodiranja i razumijevanja simbola pisanog je zika, postaje jasno da se to isto može prenositi i u jezik matematičkih simbola, bilo da se radi o brojevnim simbolima i računskim operacijama s tim simbolima ili razumijevanju priče napisane matematičkim jezikom. Ali, uočeno je i nešto drugo. Naime, oko lO% djece sa disleksijom pokazuje i posebnu matematičku nadarenost.

Druga je skupina djece kod koje možemo očekivati postojanje poteškoća u matematici, ona s perceptivno-motoričkim smetnjama, zbog kojih imaju lošu opštu koordinaciju i organizaciju pokreta, koordinaciju između oka i ruke, vizuelnu percepciju i orjentaciju u prostoru. Ova djeca imaju najviše poteškoća u geometriji.

Treća skupina djece koja mogu imati poteškoća u matematici, jeste skupina djece s posebnim jezičkim poteškoćama. Matematika je vrsta jezika, koji ima svoj specifičan riječnik i gramatiku. Ako dijete ima poteškoća u razumijevanju leksičko –gramatičkih konstrukcija, dijete neće biti u stanju tumačiti upute i zadatke u udžbeniku, te pratiti učiteljeva objašnjenja i pitanja.

Četvrta je skupina djece s disgrafijom ili specifičnim teškoćama u ovladavanju vještine pisanja. Ona mogu imati teškoće u percipiranju dijelova u odnosu na cjelinu.Isto tako, djeca s disgrafijom mogu imati poteškoća u usvajanju motoričke formule slova, znamenki i drugih simbola.

Šta bi trebao činiti nastavnik matematike?

Izvrsno poznavanje matematike kao nastavnog predmeta, nije preduvjet podučavanja djece, pogotovo djece s poteškoćama u učenju. Naime, nastavnik bi trebao dublje razumijeti dijete. Njegova uloga nije da tretira diskalkuliju, već bi trebao voditi podučavanje na način koji je prirodan i efikasan za djecu.

Postoji pet kritičnih faktora koji utiču na učenje matematike:

• stepen kognitivnog funkcionisanja učenika,

• individualni stil učenja matematike,

• formiranost predmatematičkih i pomoćnih vještina,

• razvijenost matematičkog jezika i stepen usvajanja matematičkih koncepata od konkretnog prema apstraktnom.

Na ovome se mora bazirati nastavni proces. U predškolskoj i ranoj školskoj do bi trebamo osigurati formiranje čvrstog temelja za usvajanje matematike (razvijati vještine vizualizacije, procjenjivanja, induktivnog mišljenja, prostornog orjentisanja, razvrstavanja, uspoređivanja, slijeđenja uputa u nizu). Tokom učenja matematike, vel ika se pažnja treba posvetiti jezičnoj komponenti (razvijanje i razumijevanja terminologije, matematičke sintakse i uvježbavanje prevođenja s matematičkog jezika na bosanski i obratno). Proces usvajanja svakog matematičkog koncepta treba se odvijati u prir odnom slijedu usvajanja novog znanja (od intuitivne razine, preko konkretne, slikovne, pa sve do apstraktne, praktične i komunikativne).

Koji bi bio zadatak stručnog saradnika koji bi se bavio djecom sa poteškoćama u učenju matematike?

Njegov bi se rad odvijao na navedenim područjima sa mnogo individualnog pristupa, igremi konkretnih sadržaja. Zato bi za dijete bilo korisno da defektolog, logoped, psiholog

naprave sljedeće:

• zanimljivim pričama ili igrama otkloniti zablude u vezi prirode matematike (matematika je veoma apstraktna, nikad mi neće trebati, ona nema veze sa stvarnim životom, to su samo računanja, matematika je vrlo dosadna),

• nađe načine kako razbiti strah od mat ematičkog jezika (otkriti djetetovu jezičnu razinu i ono što ga zbunjuje u matematičkom jeziku),

• pomogne djetetu doći do automatizacije aritmetičkih činjenica pomoću odgovarajućih didaktičkih materijala i konkretnih modela na način kako to nastavniku zbog prirode nastavnog procesa nije moguće,

• potakne sposobnost vizuelnog razmišljanja, jer će ono omogućiti razvoj sposobnosti vizualizacije i konceprualizacije prostornih obilježja koji su bitni za mnoge matematičke koncepte.

Posebna uloga stručnog saradnika jeste da baterijom testova dijagnosticira postojan je specifičnih matematičkih poteškoća kod djeteta, tj. da odredi da li se stvarno radi o diskalkuliji ili o opštim teškoćama u učenju matematike nastalim zbog nekih drugih razloga.

Kome se obratiti ako se uoče simptomi?

Svakako stručnom saradniku- logopedu koji se bavi disleksijom, posebnim jezičkim poteškoćama i specifičnim poteškoćama u učenju matematike.

Koja je uloga roditelja u otklanjanju matematičkih poteškoća?

Djetetov uspjeh ili neuspjeh u školi u mnogome ovisi o učenju kod kuće i o to me u kojoj summjeri roditelji uključeni u proces djetetove pripreme za školovanje i u samo školovanje. Roditelji su prvi najutjecajniji učitelji svoje djece. Oni su prve osobe koje imaju priliku razvijati temeljne predmatematičke vještine i logičko mišljen je kod svog djeteta. Stvaranje pozitivne i kreativne matematičke kulture, također je njihova uloga. Oni mogu pomoći da se stvori pozitivan stav njihovog djeteta prema matematici (matematika kao igra, matematika kao dio svakodnevnog iskustva u životu, sorti ranje, slaganje, uspoređivanje, određivanje vremena potrebnog za neke aktivnosti, zamišljanje šta bi bilo kad bi pronalaženje uzroka i posljedica u svijetu oko nas, utvrđivanje nekog događaja, zašto se događa - to su samo neki od načina kako se dijete pol ako uvodi u svijet matematičke logike. Poželjno je da sve to bude dio razgovora u igri ili ponavljanja

gradiva u obliku kviza, igre „Pogodi šta sam zamislio“, „Možeš li zamisliti ovo“, „Smisli i ti nešto slično“. Matematika i bavljenje njome neka postane nagrada zbog ugodnog vremena provedenog zajedno (roditelji i dijete). Matematika kao kazna neka ostane dio iza nas. Tako će se osigurati pomoć djetetu da zavoli matematiku i da, ako se neke teškoće i pojave, znaju da ima mnogo načina kako ih uspješno prebroditi.

Kako da dijete sa poteškoćama u matematici postane uspješno?

Nauka danas kaže da je malo toga zadano u nama kao definitivno i nepromjenljivo.Sve se naše sposobnosti i osobine ponašanja i doživljavanja mogu razvijati, mijenjati i poboljšavati, naročito dok smo djeca.

Misli o matematici - Rekli su...

Priroda je ogromna knjiga u kojoj je napisana nauka. Ona je stalno otvorena pred našim očima, ali je čovek ne može razumeti ukoliko prethodno ne nauči jezik i slova kojim je napisana. A napisana je ona jezikom matematike.

Galio Galile

Matematika je ključ za celokupno ljudsko znanje.

Leonard Ojler

Matematika – to je jezik kojim govore sve prirodne nauke . Ne postoji nijedna matematička oblast, ma kako ona apstraktna bila, koja se ne bi mogla primeniti na pojave realnog sveta. 

Nikolaj Lobačevski

Najbolji način da se nešto nauči jeste – da se samostalno otkrije. 

D. Polja

Pri obučavanju dece neophodno je težiti k tome da se kod njih postepeno sjedinjuje znanje sa umenjem. Izgleda da je od svih nauka jedino matematika sposobna da u potpunosti zadovolji ovaj zahtev. 

I. Kant

Prava matematika je uvek bila lepa, a prava je umetnost uvek bila i istinita.

V. Devide

Uči se rešavanjem problema, a ne čitanjem udžbenika.

E. Kim Neubets

NAJVEĆE ZADOVOLJSTVO U PROUČAVANJU MATEMATIKE JESTE RAZUMEVANJE. BEZ NJEGA ZNANJE MALO ZNAČI.

LEOPOLD INFELD

ČOVEK JE POPUT RAZLOMKA, ČIJI JE BROJILAC ONO ŠTO JESTE, A IMENILAC ONO ŠTO MISLI O SEBI. ŠTO JE IMENILAC VEĆI, RAZLOMAK JE MANJI.

L. N. TOLSTOJ

Matematički um

Šta je potrebno za stvaranje matematičkog uma?

     Mnogobrojne mentalne osobine utiču na sposobnost za bavljenje matematikom (od kojih mnoge zavise jedne od drugih). One se kombinuju na različite načine.
     1. Osećaj za broj. ~ Ljudi, kao i još nekoliko drugih vrsta, poseduju osećaj za brojnost. Mi prepoznajemo razliku između jednog predmeta, grupe od dva predmeta i grupe od tri predmeta. Takođe, uviđamo da grupa od tri predmeta ima više članova nego grupa od dva predmeta. Ovaj osećaj nije nešto što smo naučili; s njim smo rođeni.
    2. Sposobnost brojanja. - Osećaj za broj, sposobnost da se razlikuju i upoređuju mali skupovi, ne zahteva poznavanje pojma broja kao apstraktnog entiteta,
niti umeće brojanja. Brojevi i brojanje se uče (iako postoje neki dokazi da je brojanje u osnovi instinktivno). Uz odreden napor, šimpanze i čovekoliki majmuni mogu naučiti da broje do 10. Ali, koliko je poznato, samo su ljudi sposobni da nastave brojanje u beskonačnost i izbroje proizvoljno velike grupe predmeta.
    3. Sposobnost za upotrebu algoritma. - Algoritam je utvrđeni niz koraka koji vodi do određenog cilja - matematički ekvivalent za recept za kolač. Bavljenje aritmetikom zahteva sposobnost da se nauče različiti nizovi operacija sa brojevima. Druge matematičke oblasti zahtevaju primenu algoritama na druge vrste entiteta. Na primer, rešavanje kvadratne jednačine podrazumeva upotrebu algoritma algebarskih operacija.


   Ove tri osobine najviše doprinose sposobnosti za bavljenje aritmetikom. Ipak, osobe koje su dobre u aritmetici često koriste i dodatne osobine.

   Sve ostale osobine u manjoj ili većoj meri doprinose matematičkoj sposobnosti (kao nečemu što je različito od sposobnosti za aritmetiku). 

• Sposobnost apstrakcije. - Ograničena mogućnost apstrakcije predstavlja najveću prepreku za bavljenje matematikom. Opet, mozak je tu sposobnost stekao istovremeno kad i sposobnost za jezik, koju svako poseduje. Stoga, razlog zbog kog mnogi ljudi imaju problema s matematikom nije nedostatak sposobnosti, već to što ne umeju da je primene na matematičku apstrakciju.
• Osećaj za uzrok i posledicu. - Kao i mnoge druge vrste, ljudi su ovaj osećaj stekli veoma rano. Njegova važnost za opstanak je očigledna. 



• Sposobnost obrazovanja i praćenja kauzalnog lanca činjenica ili događaja. - Sposobnost da obrazuju i prate veoma duge kauzalne lance jedinstvena je za ljude. Naši preci usvojili su ovu sposobnost istovremeno sa jezikom. Dokaz (teoreme) koji matematičar izvodi jeste visoko apstraktna verzija uzročnog lanca činjenica. 


• Sposobnost logičkog rasuđivanja. - Ovo je sposobnost obrazovanja i praćenja postupnog logičkog dokaza. U bliskoj je vezi sa prethodno navedenom sposobnošću, i od ključne je važnosti za matematiku. 


• Sposobnost rasuđivanja o vezama. - Veliki deo matematike bavi se vezama između (apstraktnih) objekata. Sposobnost rasuđivanja o vezama između matematičkih objekata ne razlikuje se od rasuđivanja o vezama između materijalnih objekata ili o međuljudskim vezama. S obzirom na to da se najveći broj nas svakodnevno upušta u ovakva rasuđivanja, ponovo se postavlja pitanje zašto tolikom broju ljudi predstavlja problem da rasuđuje o matematičkim objektima. 
• Sposobnost rezonovanja o prostoru. - Sposobnost rezonovanja o prostoru kod mnogih vrsta je od ključne važnosti za opstanak. Ova sposobnost, koja pruža osnovu za shvatanje geometrije, može se koristiti i za rasuđivanje o oblastima za koje prostor, na prvi pogled, nije od velike važnosti. U stvari, veliki broj važnih otkrića više matematike potiče od toga što su matematičari pronašli neobične načine posmatranja problema, uzimajući u obzir prostor. (Dokaz Fermijeve poslednje teoreme iz 1994. izveden je na ovaj način.) 


     Ovo su, znači, mentalne sposobnosti čija nam kombinacija omogućava da se bavimo matematikom. Naše traganje za poreklom matematičke sposobnosti svodi se u velikoj meri na ispitivanje porekla svake od ovih sposobnosti. Okvir za tu potragu jeste ljudska evolucija. Svaka od navedenih sposobnosti troši energiju mozga. (Neke odnose i druge gubitke.) Stoga one moraju da pruže neku prednost za opstanak i tako nadoknade trošak. U nekim slučajevima - na primer, kod rezonovanja o prostoru ili kod osećaja za uzrok i posledicu - dobit je očigledna. Ostali slučajevi zahtevaju dublju analizu.